Un esempio di infinito.

Proviamo a dare un esempio di infinito.

Nel processo di descrizione dell’infinito, il pensiero di Georg Cantor, le sue teorie sulla aritmetica transfinita, rappresenta come diceva Hilbert:

“il pensiero più stupefacente del pensiero matematico, una delle più grandi creazioni dell’attività umana nel campo dell’intellegibile”.

Georg Cantor ha praticamente aperto un varco sulla strada verso l’infinito; ha costruito una teoria non basata sui numeri reali ma sui numeri infiniti.

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Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Eadem numero mutata resurgo. La spirale…Modificata nella dimensione, mi rigenero sempre uguale! La spirale!

Ecco, forse abbiamo scoperto il trucco per vivere cento anni!

No, parliamo delle spirali che godono di questa stupenda proprietà.

Supponiamo di avere 4 cani negli angoli di un piazzale quadrato. Questi cani sono al guinzaglio ma ad un certo punto, in contemporanea, alla stessa velocità, tutti i cani vengono liberati. Presi dalla gioia, si rincorrono alla stessa velocità ed ognuno va nella direzione di quello che lo succede.

I percorsi tracciati da tali cani sono delle spirali.  In tal caso, dal momento in cui i cani si muovono alla stessa velocità, la tangente in ogni punto forma con il raggio che collega il punto di tangenza al centro del piazzale un angolo costante. Nel caso di questo inseguimento l’angolo è 45°.

Paradossalmente, la spirale è caratterizzata da un numero infinito di giri e quindi i cani prima di azzuffarsi dovranno percorrerre un numero infinito di giri.

Più si avvicenderanno al centro del piazzale e più giri dovranno fare per raggiungersi.

In totale, i 4 poveri cagnolini, avranno fatto una fatica enorme per percorrere un tragitto di pari lunghezza al lato del piazzale, ma alla fine potranno rotolarsi nella polvere.

La spirale tracciata da ogni cane è una spirale logaritimica.

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Le spirali logaritmiche sono tra le curve più antiche note. Si pensi ad esempio alla soluzione geometrica dell’equazione che descrive la sezione aurea (parte di un segmento media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente).

Già Euclide, negli Elementi, risolse il suddetto problema e quindi si inbattè in questo concetto iterativo.

Correlata alla sezione aurea troviamo la successione di Fibonacci.

La successione  numerica di Fibonacci è caratterizzata dai seguenti elementi: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …

Gli elementi di tale successione trasformati o organizzati nel piano attraverso aree di quadrati che si inviluppano su se stessi, determinano una bellissima spirale.

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Esistono esempi in natura eccellenti di spirali di Fibonacci. Un esempio per tutti è la disposizione dei semi di girasole. Nella corona del fiore si osservano infatti spirali contrapposte e la quantità di semi è pari proprio agli elementi della successione numerica di Fibonacci.

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Queste spirali si chiamano anche Auree, perchè correlate alla sezione aurea; la cosidetta Divina Proporzione.

Il rapporto tra elementi successivi della successione tende a 1.618033….detto appunto numero aureo.

Non possiamo dimentarci di un vero e proprio dono della natura, che giocando con la matematica, ha generato il Cavolo Romano (Cavolo romanoBroccolo romano Brassica oleracea var. italica). Perdendosi in questo vegetale si può compiere un viaggio di 3000 anni nella matematica…dalla sezione aurea ai frattali. Infatti, aldilà della conformazione a spirale si osserva la cosidetta autosomiglianza (ne parleremo in seguito).

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Un altro esempio molto bello è dato dalle innumerevoli conchiglie che nel guscio riflettono le eccezionali proprietà della divina proporzione.

Non posso escludere infine da tale discorso breve sulle spirali le Galassie.

A me piace molto M101…qui di seguito vi mostro una immagine ripresa dall’Hubble Space Telescope

https://www.spacetelescope.org/images/opo0907h

Impressionante! Impressionante come ancora una volta si possa scorgere proprorzionalità e correlazione con tutto quanto suddetto.

 

Arcobaleno, e ti senti subito libero!

Arcobaleno, e ti senti subito libero!

 

Guardar l’arcobaleno trasmette sempre un senso di libertà.

Le nubi ormai sono passate e si fa spazio al bello.

In seguito vediamo una bella immagine di un arcobaleno-parelio ripreso da Grazia Vaccaro con una camera bridge.

Il fenomeno è noto fin dall’antichità come “Cani solari” ed è un fenomeno ottico atmosferico legato alla rifrazione della luce operata da cristalli di ghiaccio.

I cristalli, sospesi principalmente nei cirri, producono questa rifrazione della luce.

 

Queste macchie luminose si trovano a 22° a dx o sx del sole. Questo perchè l’angolo di deviazione della luce operato dai cristalli è 158°.

Le macchie luminose possono non essere esclusivamente degli arcobaleni ma anche delle vere e proprie chiazze luminosissime che ricordano un secondo o un terzo sole.

Dei pareli se ne parla già in Opere di Cicerone e di Lucio Anneo Seneca…

Spesso, questi arcobaleni possono formarsi anche per motivi differenti e dove le sorgenti di rifrazione sono particelle di natura “chimica”. Sostanze sospese nell’atmosfera.

 

Venere e la sue fasi. Venus 2017 January 14th

Venere e la sue fasi.

Parleremo di nuovo di Venere dettagliando e le sue fasi, cercando di dettagliarle.

Ogni corpo che descrive un’orbita interna a quella di un osservatore presenta il fenomeno della fase.

Venere essendo il secondo pianeta del sistema solare risulta più interno rispetto all’osservatore.

Il pianeta è in fase che potremmo indicare come “piena” quando è in congiunzione superiore ed è praticamente invisibile. In tal caso è a 1.7 UA e il diametro inferiore a 10″ (10 secondi di arco).

Venere è visibile come “quarto” quando è alla sua elongazione massima. In tal caso raggiunge i 37.7″. La fase “nuova” si ha invece quando è in congiunzione inferiore quindi alla minima distanza dalla Terra (0.28 UA). In tal caso il diametro apparente è di 64.5″.

La variazione in dimensioni e la variazione in distanza/posizione fa si che il pianeta abbia una magnitudine che oscilli tra -3.5 e -4.5.

La massima luminosità è raggiunta circa 36 giorni prima della massima elongazione occidentale e circa 36 giorni dopo la massima elongazione orientale. Nel momento di fase pari al 28%, si ha la massima luminosità e Venere mostra un diametro apparente di 39,0″.

Con un telescopio amatoriale è possibile egregiamente seguire il fenomeno delle fasi ed inoltre, utilizzando opportuni filtri, è possibile riprendere anche l’evoluzione delle strutture atmosferiche del pianeta.

Essendoci intorno al pianeta anche un’atmosfera si complica la situazione ed il fenomeno delle fasi risulta leggermente diverso da quello ben noto della Luna. Alla fine del ‘700 Schröter notò che la fase calcolata non corrispondeva a quella reale. Il fenomeno, da allora, è noto come anomalia della fase di Venere o effetto Schröter

Il terminatore (vedasi articoli precedenti) non si presenta come una linea retta ma piuttosto ha una singolare concavità.

Venere ha anche un’altra peculiarità: la dicotomia.

La dicotomia è il fenomeno per il quale la data in cui Venere è illuminata solo per metà si presenta circa 7.3 gg prima o dopo la data attesa. Ciò è dovuto alla difficoltà nell’identificare con correttezza la zona di demarcazione tra area illuminata e area non illuminata a causa delle ombre molto lunghe proiettate dagli strati atmosferici.

La densa atmosfera che genera effetto serra fa si che il pianeta sia il più caldo del sistema solare. Le nubi di Venere sono principalmente costituite da Acido Solforico ed è impossibile vedere dalla Terra, con strumenti amatoriali, dettagli atmosferici in luce Visibile.

Ecco una mia ripresa, fatta dal balcone di casa, il 14-01-2017, prima del passaggio dell’ennesima perturbazione gelida dalla Russia con furore.

E’ ben visibile dalla simulazione in alto a dx la corrispondenza della fase con quella rilevata. Il Nord è in Alto

Si intravede, grazie al filtro IR, un lievissimo dettaglio atmosferico

In tal caso, come indicato da Winjupos http://www.grischa-hahn.homepage.t-online.de/, la fase è 49.9%!!!

La cicloide…”Elena” dei Matematici

Con il primo articolo della Sezione Matematica di Scienze che passione!!! vi parlerò di una curva molto interessante che durante il ‘600 suscitò l’attenzione di molti emimenti matematici, la cicloide.

Pascal fu colui, che a dire di Leibniz, scoprì verità profonde e straordinarie di questa curva, mentre altri come Padre Mersenne, Roberval, Torricelli, Fermat o Cartesio ottennero svariati risultati interressanti ma non completi.

Ma che cosa è la cicloide!

La cicloide è una curva piana nota anche come “roulette” o trocoide.

E’ il luogo dei punti del piano tracciati da un puno arbitrario scelto su una circonferenza (detta generatrice) che rotola nel suo movimento normale lungo una retta.

Immaginiamo una ruota che rotola su una strada. Scegliamo un punto qualunque del battistrada. Fissiamolo con lo sguardo e stiamo attenti nel vedere che succede…Benissimo!

Si ottiene la cicloide di un punto della Vostra ruota.

La cicloide è la curva in blu!

 

La Cicloide Allungata:

Ora, facciamo un ulteriore sforzo con l’immaginazione.

Immaginiamo dei binari ferroviari ed un treno fermo sulla rotaia.

La ruota del treno, vista dall’asse della ruota è composta da una prima circonferenza che poggia sul piano della rotaia (che possiamo assimilare ad una retta) ed una seconda circonferenza che appare sullo stesso piano ma che di fatto è una flangia di diametro maggiore collocata all’interno del binario. Questa flangia di supporto garantisce la tenuta della routa alla rotaia (fa da reggispinta).

Prendiamo quindi un punto su questa circonferenza che avrà un diametro maggiore di quella che rappresenta la ruota vista dall’esterno e seguiamo il movimento dello stesso durante la rotazione e quindi durante l’evolvere del fenomeno rotazione.

Si ottiene una cicloide dove i punti a contatto con la retta che costituisce la rotaia non sono più delle cuspidi ma dei fiocchetti (o dei cappi).

Il punto rosso è quindi il punto sulla circonferenza interna (la flangia) che come vedete nella rotazione determina questi piccoli cappi.

La cicloide che si ottiene è una cicloide allungata…che tutto sommato, interpretata con speculazione, potrebbe anche indicarci una peculiarità paradossale della stessa.

La peculiarità paradossale

Immaginiamo il treno di prima che si sposta a 250 km/h, benissimo! Mentre tutta la parte esterna del treno viaggia nella stessa direzione…c’è qualche punto che viaggia a ritroso! Basta guardare infatti la parte interna del cappio e ci si accorge che in ogni istante c’è una parte del treno che va indietro….bella storia!

Come esiste la cicloide allungata esiste ovviamente anche la versione accorciata.

Ma oramai siamo bravi…basta che prendiamo un punto più interno e quindi prossimo all’asse di rotazione che la cicloide si innalza e si accorcia.

 

Alla prossima!

 

Luna Hi-Res Dicembre 2016

Ecco qualche immagine di Dicembre 2016 della Luna ripresa in alta risoluzione.

C11XLT+Barlow 3X+EFW2 con filtri LRGB+Contrast booster+UHC+RG610 nm+IR685 nm, dal balcone di casa

Le riprese sono state realizzate in IR >685 nm.

Acquisizione con Firecapture (3000 frames) per immagine per video di cui sono stati sommati 300 best frames con Autostakkert 2 e elaborazione con IRIS.

Non male per un seeing 6-7/10 e una trasparenza mediocre… (in Dicembre abbiamo avuto un lungo periodo di alta pressione con nebbie e seeing/trasparenze molto variabili e domati da basse frequenze/alte frequenze).

 

Copernicus

 

Gassendi

 

Mons Piton

Due parole sulla Spettroscopia di Fluorescenza

Completiamo la tematica della spettroscopia con la Fluorescenza.

Solo due parole su questa splendida tecnica e la chimica-fisica che vi è dietro.

Buona lettura:

Due parole sulla spettroscopia di fluorescenza

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Le transizioni elettroniche

Le transizioni elettroniche, sarà l’argomento della terza uscita di questa serie di articoli sulla spettroscopia ed anche le sue basi per una trattazione quantomeccanica elementare.

Sempre molto stringati…arriviamo in pochi passaggi alle regole di selezione.

Buona lettura:

Principi quantomeccanici delle transizioni elettroniche

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Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali

Ecco il secondo numero della raccolta di basi per affrontare in maniera “più tecnica” la spettroscopia molecolare ed in particolare parleremo delle Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali.

Dallo studio degli spettri vibrorotazionali di molecole è possibile trarre un elevato numero di informazioni sulla loro natura tramite la determinazione di parametri che le caratterizzano.

Fin dai livelli di istruzione generale, ci è stato detto che un generico sistema è in grado di assorbire soltanto radiazioni aventi una determinata energia (frequenza) ed in particolare solo se questa energia è uguale al salto energetico esistente fra due livelli energetici del sistema irradiato.

La teoria quantomeccanica dimostra che non tutte le transizioni sono permesse; anzi, proprio queste limitazioni (regole di selezione) permettono, almeno nel caso di molecole semplici, un’interpretazione semplice ed estremamente efficiente degli spettri.
L’interazione si può esprimere in veste matematica solo se riusciamo a risolvere l’equazione di Schrodinger:

Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali

 

Tale equazione ammette delle soluzioni che sono la descrizione degli stati in cui un atomo, molecola può esistere.

Il simbolo H è definito operatore Hamiltoniano. Nel nostro caso l’operatore Hamiltoniano comprenderà un termine perturbativo che tiene conto dell’energia d’interazione con il campo e.m..

Il sistema, che inizialmente si trova in uno stato (stazionario) che chiameremo n, caratterizzato da una certa n, verrà perturbato per un certo tempo t fino a raggiungere un nuovo stato esprimibile come opportuna combinazione lineare dei suoi stati stazionari (teorema di
completezza):

Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali

come se l’effetto della perturbazione fosse stato quello di allontanare il sistema dal suo stato “mescolando” a questo altri stati, ognuno con un peso diverso, identificabile con |ck|2 per lo stato k –esimo.

E’ proprio a quest’ultima quantità che è proporzionale la probabilità che una data transizione possa avvenire: quanto maggiore è il valore di |ck|2, tanto più lo stato finale del sistema somiglierà al k – esimo, e quindi l’interazione e.m. avrà prodotto quella che chiamiamo una transizione dallo stato n a quello k.

Definendo il momento di transizione R nk come

Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali

il fenomeno sarà permesso o meno a secondo se tale quantità tende a 1.
Il termine è l’operatore momento di dipolo elettrico definito dalla relazione:

Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali

 

Essendo quest’ultimo una funzione dispari delle coordinate, affinché la quantità dkn sia non nulla, è necessario che k e n abbiano parità diversa (vedi Laporte). Per le transizioni vibrorotazionali che avvengono all’interno dello stesso stato elettronico di una molecola biatomica abbiamo (approssimazione di Born – Oppenheimer) che:

Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali

Il termine in parentesi rappresenta il momento di dipolo elettrico della molecola nello stato elettronico in esame.

Questo fatto ha un’immediata conseguenza: solo le molecole che presentano un momento di dipolo elettrico intrinseco possono esibire transizioni vibrorotazionali non accompagnate a transizioni elettroniche.

Oltre a questa condizione (necessaria), affinché una transizione vibrorotazionle sia permessa, è necessario che l’intero integrale suddetto sia diverso da
zero. Data la diversa parità delle nucl al variare di J e v (numeri quantici rotazionale e vibrazionale), tale condizione sarà verificata solo per particolari coppie di stati.

Più precisamente, si dimostra che devono essere soddisfatte le seguenti relazioni (regole di selezione specifiche):

Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibrorotazionali

Per comodità e precisione nell’indicazione dei simboli alleghiamo anche il testo in formato PDF.

Buona lettura:

Basi quantomeccaniche per lo studio di transizioni vibro-rotazionali

 

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