Whirlpool Galaxy, sistema interagente

Tra gli oggetti circumpolari/zenitali che prediligo osservare nei primi giorni di primavera c’è la Galassia a spirale, Messier 51, meglio nota come Whirlpool Galaxy o Galassia Vortice.

E’ un sistema di galassie interagenti, NGC 5194 + NGC 5195, dove la galassia più grande (NGC 5194 o M51A) fagocita la più piccola (NGC 5195). Le enormi forze gravitazionali deformano la galassia minore richiamando materia verso la galassia più grande. Di sistemi interagenti ne esistono migliaia di facile osservazione. Anche la nostra Via Lattea è in interazione con la Galassia di Andromeda.

Caratteristiche della Whirlpool Galaxy

La Whirlpool Galaxy è nella Costellazione dei Cani da Caccia, Canes Venatici. E’ facile rintracciarla percorrendo una linea immaginaria tra Alkaid (Orsa Maggiore) e Cor Caroli (Cani da Caccia). La Galassia Whirlpool, nella parte relativa a Messier 51A o NGC 5194, è una spirale logaritmica. Si ipotizza che la forma a spirale logaritmica, quasi perfetta, sia dovuta all’interazione con NGC 5194. La presenza di una grande quantità di polveri e gas interstellari fa si che M51 sia molto attiva dal punto di vista della formazione stellare.

La galassia dista appena 31 Milioni di anni luce ed è visibile dalla Terra con una magnitudine pari a 9. Il soggetto è osservabile come un ovale sfocato con piccole ottiche mentre già usando telescopi da 200 mm è facilmente catalogabile con presenza di bracci a spirale.

Imaging Deep sky della Whirlpool Galaxy

Ecco di seguito il frutto della somma di 18 immagini da 5 minuti cadauna ottenuta con SW ED 80Pro e Canon EOS 750 D. Guida realizzata con PHD e rifrattore 70/500 SW con DMK21AU 04.AS. Come sempre ho usato filtro Optolong L-Pro. Per un totale di 90 minuti di segnale calibrato con 31 dark, 27 flat e 57 bias.

L’immagine finale è ottenuta mediante elaborazione con Deep Sky stacker. I passaggi successivi sono realizzati in Photoshop

Immagine a largo campo di M51, si osservano due galassie che interagiscono.
Crop su area Whirlpool Galaxy M51, esempio di sistema interagente

Nel campo si osservano altre piccole galassiette

localizzazione mediante tool annotate delle galassie e oggetti non stellari presenti nel campo
Annotazione con Pixinsight degli oggetti non stellari presenti nel campo

A proposito di spirale, vi ricordo di leggere il mio articolo sulle spirali https://www.scienzechepassione.com/eadem-numero-mutata-resurgo-la-spirale/

A presto con altre galassie (e speriamo, quanto prima, con Pianeti).

E se prendessimo l’altra strada? Il Caos

Da dove nasce il Caos? Chi studia il Caos? Quante volte ci siamo chiesti “E se prendessimo l’altra strada?”.

Non sappiamo, il più delle volte, l’altra strada a cosa porta. E’ dall’origine dell’universo che il sistema in evoluzione ha dovuto scegliere itinerari. Itinerari come collisioni nucleari, itinerari di batteri a spasso nel mare, percorsi di reazione, svolte ad un incrocio oppure soluzioni alternative a contrattempi o vicoli ciechi.

La vita è un continuo scegliere tra A, B e alcune volte anche C, D, E, etc….ma il tutto può essere ridotto ad una scelta tra A e B.

Inoltre, questa scelta difficilmente porta a situazioni reversibili. A dispetto di ciò che riteniamo possibile, sempre, si giunge ad un punto di non ritorno quando imboccata una strada.

E’ l’evolvere naturale dei sistemi reali, che in funzione delle condizioni iniziali determina il caos.

Come dicevamo le strade scelte portano a delle situazioni di equilibrio nuove. In effetti mutano i punti di equilibrio del sistema e questa variazione può in taluni casi determinare delle catastrofi.

Inducendo quindi una piccola variazione alle condizioni iniziali di un qualunque sistema si ha una biforcazione.

Biforcazione, che in base alla tipologia di perturbazione indotta al nostro sistema, può essere classificata come locale o globale.

… casi discreti.

Per lo studio del Caos, partiamo dall’analisi matematica dei sistemi discreti. Passeremo in rassegna dapprima il modello preda-predatore e poi la più generale equazione logistica di Verhulst.

  • Modello Preda-predatore (Equazioni di Lotka-Volterra)

Supponiamo di studiare un sistema demografico; una popolazione di animali all’interno di un bosco che segua quindi un modello preda-predatore. Parliamo quindi di un sistema “discreto”!

Il modello matematico rappresentativo della dinamica di tale popolazione è noto come modello di Lotka-Volterra. In termini matematici trattasi di un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine. I parametri caratteristici di tali equazioni differenziali sono: i tassi di crescita (in + o in -) delle specie predate e predatrici e dei fattori A, B, C, D, connessi al modo di interagire delle specie in questione.

Attraverso lo studio di tale modello è possibile valutare l’evoluzione delle due specie in ogni circostanza.

Ecco due appunti che ci permettono di capire come funziona la matematica del modello.

L’equazione di Lotka e Volterra e le soluzioni connesse ci dimostrano come, in funzione delle condizioni iniziali, cambi la forma delle orbite intorno alla situazione di stazionarietà.

Vedremo in seguito che il discorso non è disconnesso da quanto vogliamo illustrare.

  • Equazione Logistica di Verhulst

Esaminiamo un altro caso, definito anche esso “discreto”, che pian piano ci avvicina al concetto di Caos.

Altro esempio di equazione logistica, per eccellenza, è quella di Verhulst.

Che cosa studia l’equazione di Verhulst? E’ anche essa una ottima base per lo studio di alcune tipologie di Popolazioni. All’inizio si ha una crescita che è quasi esponenziale ma poco dopo si assiste ad un appiattimento! La competizione tra alcune specie della popolazione determina questo modellarsi asintotico della parte alta della curva (vedi in seguito – descritta come funzione sigmoide). Tale modello funziona perfettamente per la descrizione di alcune reazioni autocatalitiche ed anche per alcuni sistemi biologici come ad esempio lo sviluppo embrionale alle prime fasi.

  • La Mappa Logistica, l’ordine e il raddoppio

Lo studio appofondito di tale modello porta alla cosidetta Mappa logistica.

Tale mappa denota come da un modello matematico molto semplice e che descrive un sistema complesso di una popolazione si possa generare il Caos.

Vediamo quindi una mappa logistica:

La relativa semplicità della mappa logistica fornisce un eccellente punto di partenza per esaminare il concetto di caos. Da tale diagramma e dallo studio di tale equazione logistica si comprende che i sistemi caotici sono estremamente sensibili alle condizioni iniziali. Seppur piccole, variazioni alle condizioni iniziali generano condizioni di caos.

Anche con equazioni lineari e molto semplici, che descrivono una popolazione, si conclude che le strutture caotiche del diagramma di biforcazione sono molto complesse.

Guardando l’albero di Verhulst possiamo dire che per valori piccoli di x abbiamo estinzione della specie, mentre al crescere di x abbiamo prima un sistema all’equilibrio e poi al crescere di x un alternarsi di livelli diversi, fino a giungere ad un livello infinito di livelli. Vediamo in questo diagramma come le biforcazioni diventino sempre più ripide. In questi passaggi si notano delle zone che potremmo definire regolari dove la dinamica caotica sembra essere scomparsa. Avvicinandosi zoomando su “i rami” di questo albero si osservano con chiarezza le regioni regolari che possiamo chiamare anche finestre di ordine! Il fenonemo matematico viene anche chiamato raddoppiamento del periodo (studiato da Feigenbaum).

  • L’attrattore di Hénon

All’interno dei sistemi discreti è interessante studiare anche la seguente situazione scoperta da Hénon. I sistemi astronomici, a differenza di quelli terrestri (fluidodinamici, etc), non sono dissipativi ma conservativi (anche noti come hamiltoniani). In realtà su scale microscopiche anche i sistemi astronomici sono dotati di forze di attrito, ai fini pratici tuttavia tali dissipazioni possono essere trascurate.

Henon, astronomo presso l’Osservatorio di Nizza, si rese conto che per taluni valori dell’Energia di alcuni corpi celesti, le orbite descritte da tali corpi in corrispondenza di tali valori di Energia, proiettate su un piano immaginario, danno figure regolari. Hénon abbandonò la risoluzione del problema dal punto di vista classico astronomico e lo semplifico studiandolo solo dal punto di vista matematico. Nella fattispecie risultava una figura a forma di banana che analizzata costruendo un apposita funzione risultava sempre più densa nelle linee che la costituivano.

La figura generata si definisce “ATTRATTORE”. L’attrattore di Hénon è un attrattore alle differenze finite e pertanto discreto.

Diremo, in termini tecnici, che una combinazione di piegamento e stiramento producono un attrattore facile da calcolare. Sebbene semplice nella costruzione di calcolo risulta complesso nella sua interpretazione. Zoomando a dismisura su una singola linea si scopre che la stessa nasconde altre coppie di linee e le coppie delle quadruplette di linee, etc, etc. Non si può dire comuqnue se una coppia di punti sarà vicina o lontana. I punti infatti vagano in modo del tutto causale, stiamo parlando della traiettoria dove convergono tutte le altre traiettorie. Tutti i punti convergono verso l’attrattore.

…casi continui.

Valutate queste situazioni discrete vediamo anche qualche caso “Continuo”.

I sistemi continui che valuteremo sono, il pendolo composto o doppio pendolo ed infine un sistema che descriva il moto dei fluidi in convezione. Quest’ultimo ci porterà alla definizione di un nuovo attrattore, l’ “Attrattore di Lorenz”.

Parliamo quindi del Pendolo composto.

Il pendolo composto può essere considerato complesso a npiacere. Possiamo immaginarlo formato da due o più bracci della stessa lunghezza o lunghezza variabile. Per quanto concerne la libertà di movimento lo possiamo prevedere bidimensionale e quindi su un piano, oppure nello spazio. La massa può poi essere considerata distribuita lungo tutta la lunghezza dei bracci o localizzata.

Supponiamo, per semplicità, che la massa sia equamente distribuita ed iniziamo i nostri calcoli:

Questo “macello” per dire cosa! Diciamo che il pendolo si muove di moto caotico. In base alle condizioni iniziali, ancora una volta, si determina un avvicendarsi di evoluzioni del moto “caotiche”.

Esistono svariate simulazioni, in rete disponibili, della dinamica del pendolo doppio.

Qui vi cito ottimi link per una maggiore trattazione matematica e per vedere in live mode una simulazione del moto caotico.:

http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html

http://www.myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum/double-pendulum-en.html

L’attrattore di Lorenz.

L’attrattore di Lorenz fu descritto per la prima volta nel 1963, in un articolo dello stesso Lorenz sul caos deterministico. Edward Lorenz, nella stesura dell’articolo dove studiava il moto convettivo di un fluido, fu in grado di disegnare, calcolando, solo una parte del suo attrattore. Il diagramma conteneva due immagini di spire a destra e cinque a sinistra. Un punto in moto lungo queste spire, illustrava la rotazione caotica e lenta del fluido. Il sistema descritto da Lorenz era tridimensionale e giaceva quindi in un spazio delle fasi tridimensionale. Si vede in tale diagramma una doppia spirale, che somiglia ad ali di farfalla. Riscaldando il sistema vengono tracciate le traiettore di sinistra, altrimenti quelle di destra. L’attrattore si comporta in maniera stabile, ha poche dimensioni ed è aperiodico, Non interseca mai se stesso. Dove le spirali sembrano unirsi le superifici si separano. Si formano strati. Su scala infinitamente piccola si osserva una struttura straordinaria.

Trovo molto ben strutturato e semplice il contenuto di Wikipedia e vi risparmio quindi le mie soluzioni a mano!

https://it.wikipedia.org/wiki/Attrattore_di_Lorenz

Questo è un esempio di Effetto Farfalla!. Effetto di dipendenza sensibile alle condizioni iniziali.

Tale effetto non è un caso, ma un fenomeno necessario.

Il nome nasce dal titolo di una conferenza tenuta da Lorenz nel ’72 “Può, il batter d’ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?

Per anni dopo, Henon e Lorenz lo studio sistematico del Caos è progredito. Si è fuso grazie agli sforzi di Feigenbaum (sulle condizioni di unversalità) e Mandelbrot (il padre fondatore dei frattali) allo studio dei frattali.(https://it.wikipedia.org/wiki/Frattale). I Frattali spesso vengono quindi confusi con lo studio del caos ma possono di fatto essere una rappresentazione di esso.

Da questi studi e da quelli che sono succeduti fino all’inizio degli anni ottanta si è capito che l’evoluzione è caos nel momento in cui esistono più strutture che competono tra loro!

Quindi che cos’è il Caos?

Avrei potuto continuare entrando nel dettaglio di ogni singolo argomento, ma è troppo. Mi auguro che vi sia nata la curiosità di esplorare maggiormente i contenuti del web sulla materia…probabilmente tra decine di anni saremo ancora li a cercare aggiornamenti. L’importante è pensarci su e cercare intorno a se stessi dei casi o interpretare dei fenomeni che possano ricordarci che esiste lo studio del Caos.

Potremmo parlarne ancora per mesi…ma è lecito uscire dal tunnel della matematica e della fisica dei sistemi dinamici e cercare di tirare le somme!

Il termine ‛caos’ significa annientamento dell’ordine o assenza di qualsiasi struttura. In matematica, e più in generale in ogni scienza, la presenza del ‛caos‘ implica la totale impossibilità di predire il risultato di qualsiasi evento. La moderna ‛teoria del caos’ si basa, forse paradossalmente, sul fatto che i sistemi caotici hanno spesso una struttura incredibilmente ricca. In un sistema caotico può rivelarsi impossibile predire uno specifico avvenimento, e tuttavia la totalità dei possibili risultati è spesso dotata di una elegante struttura perfettamente comprensibile.

Il caos è: Dissipazione, Evoluzione, Retroazione, Linearità, Non linearità, Complessità, Ordine! Il caos è la Natura stessa.

 

Un esempio di infinito.

Proviamo a dare un esempio di infinito.

Nel processo di descrizione dell’infinito, il pensiero di Georg Cantor, le sue teorie sulla aritmetica transfinita, rappresenta come diceva Hilbert:

“il pensiero più stupefacente del pensiero matematico, una delle più grandi creazioni dell’attività umana nel campo dell’intellegibile”.

Georg Cantor ha praticamente aperto un varco sulla strada verso l’infinito; ha costruito una teoria non basata sui numeri reali ma sui numeri infiniti.

Continua a leggere “Un esempio di infinito.”

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Eadem numero mutata resurgo. La spirale…Modificata nella dimensione, mi rigenero sempre uguale! La spirale!

Ecco, forse abbiamo scoperto il trucco per vivere cento anni!

No, parliamo delle spirali che godono di questa stupenda proprietà.

Supponiamo di avere 4 cani negli angoli di un piazzale quadrato. Questi cani sono al guinzaglio ma ad un certo punto, in contemporanea, alla stessa velocità, tutti i cani vengono liberati. Presi dalla gioia, si rincorrono alla stessa velocità ed ognuno va nella direzione di quello che lo succede.

I percorsi tracciati da tali cani sono delle spirali.  In tal caso, dal momento in cui i cani si muovono alla stessa velocità, la tangente in ogni punto forma con il raggio che collega il punto di tangenza al centro del piazzale un angolo costante. Nel caso di questo inseguimento l’angolo è 45°.

Paradossalmente, la spirale è caratterizzata da un numero infinito di giri e quindi i cani prima di azzuffarsi dovranno percorrerre un numero infinito di giri.

Più si avvicenderanno al centro del piazzale e più giri dovranno fare per raggiungersi.

In totale, i 4 poveri cagnolini, avranno fatto una fatica enorme per percorrere un tragitto di pari lunghezza al lato del piazzale, ma alla fine potranno rotolarsi nella polvere.

La spirale tracciata da ogni cane è una spirale logaritimica.

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Le spirali logaritmiche sono tra le curve più antiche note. Si pensi ad esempio alla soluzione geometrica dell’equazione che descrive la sezione aurea (parte di un segmento media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente).

Già Euclide, negli Elementi, risolse il suddetto problema e quindi si inbattè in questo concetto iterativo.

Correlata alla sezione aurea troviamo la successione di Fibonacci.

La successione  numerica di Fibonacci è caratterizzata dai seguenti elementi: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …

Gli elementi di tale successione trasformati o organizzati nel piano attraverso aree di quadrati che si inviluppano su se stessi, determinano una bellissima spirale.

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Esistono esempi in natura eccellenti di spirali di Fibonacci. Un esempio per tutti è la disposizione dei semi di girasole. Nella corona del fiore si osservano infatti spirali contrapposte e la quantità di semi è pari proprio agli elementi della successione numerica di Fibonacci.

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Queste spirali si chiamano anche Auree, perchè correlate alla sezione aurea; la cosidetta Divina Proporzione.

Il rapporto tra elementi successivi della successione tende a 1.618033….detto appunto numero aureo.

Non possiamo dimentarci di un vero e proprio dono della natura, che giocando con la matematica, ha generato il Cavolo Romano (Cavolo romanoBroccolo romano Brassica oleracea var. italica). Perdendosi in questo vegetale si può compiere un viaggio di 3000 anni nella matematica…dalla sezione aurea ai frattali. Infatti, aldilà della conformazione a spirale si osserva la cosidetta autosomiglianza (ne parleremo in seguito).

Eadem numero mutata resurgo. La spirale!

Un altro esempio molto bello è dato dalle innumerevoli conchiglie che nel guscio riflettono le eccezionali proprietà della divina proporzione.

Non posso escludere infine da tale discorso breve sulle spirali le Galassie.

A me piace molto M101…qui di seguito vi mostro una immagine ripresa dall’Hubble Space Telescope

https://www.spacetelescope.org/images/opo0907h

Impressionante! Impressionante come ancora una volta si possa scorgere proprorzionalità e correlazione con tutto quanto suddetto.

 

La cicloide…”Elena” dei Matematici

Con il primo articolo della Sezione Matematica di Scienze che passione!!! vi parlerò di una curva molto interessante che durante il ‘600 suscitò l’attenzione di molti emimenti matematici, la cicloide.

Pascal fu colui, che a dire di Leibniz, scoprì verità profonde e straordinarie di questa curva, mentre altri come Padre Mersenne, Roberval, Torricelli, Fermat o Cartesio ottennero svariati risultati interressanti ma non completi.

Ma che cosa è la cicloide!

La cicloide è una curva piana nota anche come “roulette” o trocoide.

E’ il luogo dei punti del piano tracciati da un puno arbitrario scelto su una circonferenza (detta generatrice) che rotola nel suo movimento normale lungo una retta.

Immaginiamo una ruota che rotola su una strada. Scegliamo un punto qualunque del battistrada. Fissiamolo con lo sguardo e stiamo attenti nel vedere che succede…Benissimo!

Si ottiene la cicloide di un punto della Vostra ruota.

La cicloide è la curva in blu!

 

La Cicloide Allungata:

Ora, facciamo un ulteriore sforzo con l’immaginazione.

Immaginiamo dei binari ferroviari ed un treno fermo sulla rotaia.

La ruota del treno, vista dall’asse della ruota è composta da una prima circonferenza che poggia sul piano della rotaia (che possiamo assimilare ad una retta) ed una seconda circonferenza che appare sullo stesso piano ma che di fatto è una flangia di diametro maggiore collocata all’interno del binario. Questa flangia di supporto garantisce la tenuta della routa alla rotaia (fa da reggispinta).

Prendiamo quindi un punto su questa circonferenza che avrà un diametro maggiore di quella che rappresenta la ruota vista dall’esterno e seguiamo il movimento dello stesso durante la rotazione e quindi durante l’evolvere del fenomeno rotazione.

Si ottiene una cicloide dove i punti a contatto con la retta che costituisce la rotaia non sono più delle cuspidi ma dei fiocchetti (o dei cappi).

Il punto rosso è quindi il punto sulla circonferenza interna (la flangia) che come vedete nella rotazione determina questi piccoli cappi.

La cicloide che si ottiene è una cicloide allungata…che tutto sommato, interpretata con speculazione, potrebbe anche indicarci una peculiarità paradossale della stessa.

La peculiarità paradossale

Immaginiamo il treno di prima che si sposta a 250 km/h, benissimo! Mentre tutta la parte esterna del treno viaggia nella stessa direzione…c’è qualche punto che viaggia a ritroso! Basta guardare infatti la parte interna del cappio e ci si accorge che in ogni istante c’è una parte del treno che va indietro….bella storia!

Come esiste la cicloide allungata esiste ovviamente anche la versione accorciata.

Ma oramai siamo bravi…basta che prendiamo un punto più interno e quindi prossimo all’asse di rotazione che la cicloide si innalza e si accorcia.

 

Alla prossima!