E se prendessimo l’altra strada? Il Caos

Da dove nasce il Caos? Chi studia il Caos? Quante volte ci siamo chiesti “E se prendessimo l’altra strada?”.

Non sappiamo, il più delle volte, l’altra strada a cosa porta. E’ dall’origine dell’universo che il sistema in evoluzione ha dovuto scegliere itinerari. Itinerari come collisioni nucleari, itinerari di batteri a spasso nel mare, percorsi di reazione, svolte ad un incrocio oppure soluzioni alternative a contrattempi o vicoli ciechi.

La vita è un continuo scegliere tra A, B e alcune volte anche C, D, E, etc….ma il tutto può essere ridotto ad una scelta tra A e B.

Inoltre, questa scelta difficilmente porta a situazioni reversibili. A dispetto di ciò che riteniamo possibile, sempre, si giunge ad un punto di non ritorno quando imboccata una strada.

E’ l’evolvere naturale dei sistemi reali, che in funzione delle condizioni iniziali determina il caos.

Come dicevamo le strade scelte portano a delle situazioni di equilibrio nuove. In effetti mutano i punti di equilibrio del sistema e questa variazione può in taluni casi determinare delle catastrofi.

Inducendo quindi una piccola variazione alle condizioni iniziali di un qualunque sistema si ha una biforcazione.

Biforcazione, che in base alla tipologia di perturbazione indotta al nostro sistema, può essere classificata come locale o globale.

… casi discreti.

Per lo studio del Caos, partiamo dall’analisi matematica dei sistemi discreti. Passeremo in rassegna dapprima il modello preda-predatore e poi la più generale equazione logistica di Verhulst.

  • Modello Preda-predatore (Equazioni di Lotka-Volterra)

Supponiamo di studiare un sistema demografico; una popolazione di animali all’interno di un bosco che segua quindi un modello preda-predatore. Parliamo quindi di un sistema “discreto”!

Il modello matematico rappresentativo della dinamica di tale popolazione è noto come modello di Lotka-Volterra. In termini matematici trattasi di un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine. I parametri caratteristici di tali equazioni differenziali sono: i tassi di crescita (in + o in -) delle specie predate e predatrici e dei fattori A, B, C, D, connessi al modo di interagire delle specie in questione.

Attraverso lo studio di tale modello è possibile valutare l’evoluzione delle due specie in ogni circostanza.

Ecco due appunti che ci permettono di capire come funziona la matematica del modello.

L’equazione di Lotka e Volterra e le soluzioni connesse ci dimostrano come, in funzione delle condizioni iniziali, cambi la forma delle orbite intorno alla situazione di stazionarietà.

Vedremo in seguito che il discorso non è disconnesso da quanto vogliamo illustrare.

  • Equazione Logistica di Verhulst

Esaminiamo un altro caso, definito anche esso “discreto”, che pian piano ci avvicina al concetto di Caos.

Altro esempio di equazione logistica, per eccellenza, è quella di Verhulst.

Che cosa studia l’equazione di Verhulst? E’ anche essa una ottima base per lo studio di alcune tipologie di Popolazioni. All’inizio si ha una crescita che è quasi esponenziale ma poco dopo si assiste ad un appiattimento! La competizione tra alcune specie della popolazione determina questo modellarsi asintotico della parte alta della curva (vedi in seguito – descritta come funzione sigmoide). Tale modello funziona perfettamente per la descrizione di alcune reazioni autocatalitiche ed anche per alcuni sistemi biologici come ad esempio lo sviluppo embrionale alle prime fasi.

  • La Mappa Logistica, l’ordine e il raddoppio

Lo studio appofondito di tale modello porta alla cosidetta Mappa logistica.

Tale mappa denota come da un modello matematico molto semplice e che descrive un sistema complesso di una popolazione si possa generare il Caos.

Vediamo quindi una mappa logistica:

La relativa semplicità della mappa logistica fornisce un eccellente punto di partenza per esaminare il concetto di caos. Da tale diagramma e dallo studio di tale equazione logistica si comprende che i sistemi caotici sono estremamente sensibili alle condizioni iniziali. Seppur piccole, variazioni alle condizioni iniziali generano condizioni di caos.

Anche con equazioni lineari e molto semplici, che descrivono una popolazione, si conclude che le strutture caotiche del diagramma di biforcazione sono molto complesse.

Guardando l’albero di Verhulst possiamo dire che per valori piccoli di x abbiamo estinzione della specie, mentre al crescere di x abbiamo prima un sistema all’equilibrio e poi al crescere di x un alternarsi di livelli diversi, fino a giungere ad un livello infinito di livelli. Vediamo in questo diagramma come le biforcazioni diventino sempre più ripide. In questi passaggi si notano delle zone che potremmo definire regolari dove la dinamica caotica sembra essere scomparsa. Avvicinandosi zoomando su “i rami” di questo albero si osservano con chiarezza le regioni regolari che possiamo chiamare anche finestre di ordine! Il fenonemo matematico viene anche chiamato raddoppiamento del periodo (studiato da Feigenbaum).

  • L’attrattore di Hénon

All’interno dei sistemi discreti è interessante studiare anche la seguente situazione scoperta da Hénon. I sistemi astronomici, a differenza di quelli terrestri (fluidodinamici, etc), non sono dissipativi ma conservativi (anche noti come hamiltoniani). In realtà su scale microscopiche anche i sistemi astronomici sono dotati di forze di attrito, ai fini pratici tuttavia tali dissipazioni possono essere trascurate.

Henon, astronomo presso l’Osservatorio di Nizza, si rese conto che per taluni valori dell’Energia di alcuni corpi celesti, le orbite descritte da tali corpi in corrispondenza di tali valori di Energia, proiettate su un piano immaginario, danno figure regolari. Hénon abbandonò la risoluzione del problema dal punto di vista classico astronomico e lo semplifico studiandolo solo dal punto di vista matematico. Nella fattispecie risultava una figura a forma di banana che analizzata costruendo un apposita funzione risultava sempre più densa nelle linee che la costituivano.

La figura generata si definisce “ATTRATTORE”. L’attrattore di Hénon è un attrattore alle differenze finite e pertanto discreto.

Diremo, in termini tecnici, che una combinazione di piegamento e stiramento producono un attrattore facile da calcolare. Sebbene semplice nella costruzione di calcolo risulta complesso nella sua interpretazione. Zoomando a dismisura su una singola linea si scopre che la stessa nasconde altre coppie di linee e le coppie delle quadruplette di linee, etc, etc. Non si può dire comuqnue se una coppia di punti sarà vicina o lontana. I punti infatti vagano in modo del tutto causale, stiamo parlando della traiettoria dove convergono tutte le altre traiettorie. Tutti i punti convergono verso l’attrattore.

…casi continui.

Valutate queste situazioni discrete vediamo anche qualche caso “Continuo”.

I sistemi continui che valuteremo sono, il pendolo composto o doppio pendolo ed infine un sistema che descriva il moto dei fluidi in convezione. Quest’ultimo ci porterà alla definizione di un nuovo attrattore, l’ “Attrattore di Lorenz”.

Parliamo quindi del Pendolo composto.

Il pendolo composto può essere considerato complesso a npiacere. Possiamo immaginarlo formato da due o più bracci della stessa lunghezza o lunghezza variabile. Per quanto concerne la libertà di movimento lo possiamo prevedere bidimensionale e quindi su un piano, oppure nello spazio. La massa può poi essere considerata distribuita lungo tutta la lunghezza dei bracci o localizzata.

Supponiamo, per semplicità, che la massa sia equamente distribuita ed iniziamo i nostri calcoli:

Questo “macello” per dire cosa! Diciamo che il pendolo si muove di moto caotico. In base alle condizioni iniziali, ancora una volta, si determina un avvicendarsi di evoluzioni del moto “caotiche”.

Esistono svariate simulazioni, in rete disponibili, della dinamica del pendolo doppio.

Qui vi cito ottimi link per una maggiore trattazione matematica e per vedere in live mode una simulazione del moto caotico.:

http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html

http://www.myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum/double-pendulum-en.html

L’attrattore di Lorenz.

L’attrattore di Lorenz fu descritto per la prima volta nel 1963, in un articolo dello stesso Lorenz sul caos deterministico. Edward Lorenz, nella stesura dell’articolo dove studiava il moto convettivo di un fluido, fu in grado di disegnare, calcolando, solo una parte del suo attrattore. Il diagramma conteneva due immagini di spire a destra e cinque a sinistra. Un punto in moto lungo queste spire, illustrava la rotazione caotica e lenta del fluido. Il sistema descritto da Lorenz era tridimensionale e giaceva quindi in un spazio delle fasi tridimensionale. Si vede in tale diagramma una doppia spirale, che somiglia ad ali di farfalla. Riscaldando il sistema vengono tracciate le traiettore di sinistra, altrimenti quelle di destra. L’attrattore si comporta in maniera stabile, ha poche dimensioni ed è aperiodico, Non interseca mai se stesso. Dove le spirali sembrano unirsi le superifici si separano. Si formano strati. Su scala infinitamente piccola si osserva una struttura straordinaria.

Trovo molto ben strutturato e semplice il contenuto di Wikipedia e vi risparmio quindi le mie soluzioni a mano!

https://it.wikipedia.org/wiki/Attrattore_di_Lorenz

Questo è un esempio di Effetto Farfalla!. Effetto di dipendenza sensibile alle condizioni iniziali.

Tale effetto non è un caso, ma un fenomeno necessario.

Il nome nasce dal titolo di una conferenza tenuta da Lorenz nel ’72 “Può, il batter d’ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?

Per anni dopo, Henon e Lorenz lo studio sistematico del Caos è progredito. Si è fuso grazie agli sforzi di Feigenbaum (sulle condizioni di unversalità) e Mandelbrot (il padre fondatore dei frattali) allo studio dei frattali.(https://it.wikipedia.org/wiki/Frattale). I Frattali spesso vengono quindi confusi con lo studio del caos ma possono di fatto essere una rappresentazione di esso.

Da questi studi e da quelli che sono succeduti fino all’inizio degli anni ottanta si è capito che l’evoluzione è caos nel momento in cui esistono più strutture che competono tra loro!

Quindi che cos’è il Caos?

Avrei potuto continuare entrando nel dettaglio di ogni singolo argomento, ma è troppo. Mi auguro che vi sia nata la curiosità di esplorare maggiormente i contenuti del web sulla materia…probabilmente tra decine di anni saremo ancora li a cercare aggiornamenti. L’importante è pensarci su e cercare intorno a se stessi dei casi o interpretare dei fenomeni che possano ricordarci che esiste lo studio del Caos.

Potremmo parlarne ancora per mesi…ma è lecito uscire dal tunnel della matematica e della fisica dei sistemi dinamici e cercare di tirare le somme!

Il termine ‛caos’ significa annientamento dell’ordine o assenza di qualsiasi struttura. In matematica, e più in generale in ogni scienza, la presenza del ‛caos‘ implica la totale impossibilità di predire il risultato di qualsiasi evento. La moderna ‛teoria del caos’ si basa, forse paradossalmente, sul fatto che i sistemi caotici hanno spesso una struttura incredibilmente ricca. In un sistema caotico può rivelarsi impossibile predire uno specifico avvenimento, e tuttavia la totalità dei possibili risultati è spesso dotata di una elegante struttura perfettamente comprensibile.

Il caos è: Dissipazione, Evoluzione, Retroazione, Linearità, Non linearità, Complessità, Ordine! Il caos è la Natura stessa.

 

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