Un esempio di infinito.

Proviamo a dare un esempio di infinito.

Nel processo di descrizione dell’infinito, il pensiero di Georg Cantor, le sue teorie sulla aritmetica transfinita, rappresenta come diceva Hilbert:

“il pensiero più stupefacente del pensiero matematico, una delle più grandi creazioni dell’attività umana nel campo dell’intellegibile”.

Georg Cantor ha praticamente aperto un varco sulla strada verso l’infinito; ha costruito una teoria non basata sui numeri reali ma sui numeri infiniti.

Lo stesso Cantor era stupefatto dei suoi risultati, al punto di percepire in se stesso una sorta di incredulità verso quanto aveva dedotto.

E’ stato il primo a definire l’infinito come qualcosa di misurabile, ma è stato anche capace, attraverso il metodo della diagonalizzazione, di enunciare che esistono vari tipi di infinito.

Aldilà delle teorie, una delle frasi più belle, di questo grande matematico e filosofo è:

“L’infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un’essenza mistica completamente indipendente, in Dio, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico.”

Veniamo ora ai nostri giochi. Prendiamo un segmento AB e eliminiamo il terzo centrale. Dei due segmenti rimanenti, eliminiamo il terzo centrale. Dei quattro segmenti rimanenti facciamo lo stesso….proseguiamo in questo nostro sezionamento fino all’infinito!

Ad ogni passaggio, la lunghezza degli intervalli diviene sempre più piccola ed è chiaro che iterando all’infinito la lunghezza dell’intervallo si annulla, rimanendo quindi solo i singoli punti. I punti, non sono altro che una degenerazione degli intervalli stessi, che risultano essere infiniti, essendo infinito il sezionamento.

Otteniamo in questo modo una rappresentazione dell’insieme di Cantor.

In maniera pittorica chiamiamo questi punti la “polvere di Cantor”.

All’nterno dell’insieme di Cantor esiste anche una altra peculiarità: l’autosimilarità.  Ingrandendo a piacere una qualunque sottosezione dell’insieme si riottiene l’insieme con la stessa densità. Il tutto è la copia del tutto.

L’insieme di Cantor è quindi ciò che resta…ma quanto resta? E purtroppo resta zero (questo è un  pò difficile da spiegare…sorvoliamo).

Tale insieme ha la “Cardinalità del Continuo” ed è un frattale di tipo deterministico (i frattali non sono necessariamente quei bei “disegni” che vediamo al PC). Come ogni frattale anche questo ha una dimensione e che è pari a ln(2)/ln(3) (dimensione di Hausdorff).

E poi ci sarebbero ancora tante altre belle cose da dire sulla tipologia di tale insieme…che a buon intenditore potremo definire “Perfetto”.

 

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